Об уравнениях Навье–Стокса: теоремы существования и энергетические равенства

Изложены известные на настоящий момент времени результаты о разрешимости уравнений Навье–Стокса для неньютоновых несжимаемых жидкостей. Порядок нелинейности в уравнениях может быть переменным, при этом лишь измеримой функцией. Рассмотрены нестационарные и стационарные уравнения. Много внимания уделено восстановлению энергетического баланса, нарушение которого теоретически допустимо, в частности, для трехмерного классического нестационарного уравнения Навье–Стокса. При построении слабого решения в процессе предельной процедуры возникает мера – предел плотностей вязких энергий. Предельная мера, вообще говоря, содержит неотрицательную сингулярную (относительно меры Лебега) компоненту. Именно эта сингулярная компонента поддерживает энергетическое равновесие. Изучены достаточные условия отсутствия сингулярной компоненты: в этом случае выполнено обычное энергетическое равенство. Во многих отношениях надо следить лишь за регулярной компонентой предельной меры: важно, чтобы сохранялся ее естественный вид – произведения тензора вязких напряжений на градиент решения. Это фундаментальное соотношение гарантирует разрешимость задачи. Найдены условия, обеспечивающие указанное представление абсолютно непрерывной компоненты предельной меры.