О комбинаторной структуре графов Рози

Пусть $S_m^0$ – множество всех неприводимых перестановок чисел $\{1,\dots,m\}$ ($m\ge3$). На множестве $S_m^0$ определены отображения индукции Рози $a$ и $b$. Для перестановки $\pi\in S_m^0$ обозначим через $R(\pi)$ орбиту перестановки $\pi$ при действиях отображений $a$ и $b$, снабженную структурой ориентированного графа в соответствии с действием отображений $a$ и $b$ на этом множестве: ребра этого графа относятся к одному из двух типов $a$ и $b$. Будем говорить, что граф $R(\pi)$ есть дерево, составленное из циклов, если любой простой цикл в этом графе состоит из ребер одного типа. Равносильная формулировка этого условия такова: граф $R^*(\pi)$, двойственный к графу $R(\pi)$, есть дерево. Основной результат настоящей работы состоит в следующем: если граф $R(\pi)$ перестановки $\pi\in S_m^0$ есть дерево, составленное из циклов, то множество $R(\pi)$ содержит перестановку $\pi_0\colon i\mapsto m+1-i$, $i=1,\dots,m$. Доказан обратный результат: граф $R(\pi_0)$ есть дерево, составленное из циклов; при этом в явном виде установлена структура этого графа.