Нерв-комплексы и момент–угол-пространства выпуклых многогранников

Введены сферические нерв-комплексы, являющиеся далеким обобщением симплициальных сфер. Рассмотрено дифференциальное кольцо симплициальных комплексов. Показано, что сферические нерв-комплексы образуют его подкольцо, и определен гомоморфизм кольца многогранников в это подкольцо, сопоставляющий каждому многограннику $P$ нерв $K_P$ покрытия границы $\partial P$ гипергранями. Развита теория нерв-комплексов и ее приложения к момент–угол-пространствам $\mathcal Z_P$ выпуклых многогранников $P$. В случае многогранника $P$ с $m$ гипергранями его момент–угол-пространство $\mathcal Z_P$ определяется каноническим вложением в конус $\mathbb R_\geq^m$. Известно, что пространство $\mathcal Z_P$ гомеоморфно полиэдральной степени $(D^2,S^1)^{\partial P^*}$, если многогранник $P$ простой. Показано, что в общем случае имеет место гомотопическая эквивалентность $\mathcal Z_P\simeq(D^2,S^1)^{K_P}$. На основе биградуированных чисел Бетти симплициальных комплексов построен новый класс комбинаторных инвариантов выпуклых многогранников. Эти инварианты принимают значения в кольце многочленов от двух переменных и являются мультипликативными относительно прямого произведения либо джойна многогранников. Описана связь этих инвариантов с известными $f$-многочленами многогранников. Указаны примеры выпуклых многогранников, у которых совпадают флаговые числа и, в частности, $f$-многочлены, а новые инварианты различны.