О достижимости минимального показателя экспоненциального роста свободных произведений конечных циклических групп

Рассматриваются свободные произведения двух конечных циклических групп порядка $2$ и $n$, где $n$ – степень простого числа. Мы доказываем, что минимальный показатель роста $\alpha _n$ любой такой группы $\mathbb Z_2*\mathbb Z_n=\langle a,b\mid a^2=b^n=1\rangle$ достигается на множестве порождающих $\{a,b\}$, а также указываем целочисленный многочлен, максимальный корень которого равен $\alpha_n$. Для случаев $n=3,4$ этот результат был ранее получен А. Манном. Устанавливается, что при достаточно общих условиях минимальные показатели роста группы $G$ и ее центрального расширения $\widetilde G$ совпадают и из достижимости одного следует достижимость другого. В качестве следствия достижимость доказывается для некоторых циклических расширений указанных выше свободных произведений, в частности групп $\langle a,b\mid a^2=b^n\rangle$, которые при нечетных $n$ являются группами торических узлов.