Топологические свойства собственных колебаний математической физики

Курант доказал, что нули $n$-й собственной функции оператора Лапласа на компактном многообразии $M$ делят это многообразие на не более чем $n$ частей. Он предположил, что такое же утверждение верно и для любой линейной комбинации первых $n$ собственных функций. Однако впоследствии выяснилось, что некоторые следствия из этого обобщенного утверждения противоречат результатам квантовой теории поля. Видимо, одномерная версия обобщения теоремы Куранта, тем не менее, верна, и предложенный И. М. Гельфандом путь ее доказательства использует идеи квантовой механики и исследования действия групп перестановок. В связи с этим возникают интересные вопросы описания статистических свойств представлений групп, возникающих из их действия на собственных функциях оператора Лапласа. Их исследование приводит в том числе к вопросам теории особенностей.