Двойственность компактности и дискретности за пределами двойственности Понтрягина

Одним из самых ярких результатов теории двойственности Л. С. Понтрягина было установление двойственности между компактными и дискретными локально компактными абелевыми группами. Эта двойственность частично сохраняется и для объектов, связанных с некоммутативными топологическими группами. В частности, хорошо известно, что двойственное пространство компактной топологической группы дискретно, а двойственное пространство дискретной группы квазикомпактно (т.е. удовлетворяет теореме о конечном покрытии, но не обязательно хаусдорфово). Первое из этих утверждений допускает обращение, тогда как второе не допускает (есть простые примеры недискретных локально компактных разрешимых групп высоты $2$, двойственные пространства которых квазикомпактны и нехаусдорфовы (они являются $T_1$-пространствами)). Однако в классе локально компактных групп, все неприводимые унитарные представления которых конечномерны, группа дискретна тогда и только тогда, когда ее двойственное пространство квазикомпактно (и автоматически является $T_1$-пространством). Доказательство основано на структурной теореме для локально компактных групп, все неприводимые унитарные представления которых конечномерны. Некоторая двойственность между компактностью и дискретностью прослеживается и для не обязательно локально компактных групп, если группа унитарно или хотя бы рефлексивно представима и (в простейшем случае) если неприводимые представления группы образуют достаточно большое семейство и имеют ограниченные в совокупности размерности. Соответствующие аналоги компактности и дискретности не всегда легко распознаваемы, но все же до некоторой степени двойственны друг другу.