Свойства решений одного класса квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме

В ограниченной области $G$ $n$-мерного евклидова пространства рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения вида
\begin{equation} -\operatorname{div}a(u_x)=f(x),\qquad x\in G, \end{equation}
где $a(u_x)$ – вектор-функция с компонентами $a^i(u_x)$, $i=1,\dots,n$; $u_x$ – градиент искомого решения $u=u(x)$.
Предполагается, что вектор-функция $a(y)$ непрерывна в $E^n$ и удовлетворяет следующему условию эллиптичности: для любых $y$ и $z$ из $E^n$
$$ (a(y)-a(z),y-z)\ge0. $$
На рост функций $a^i(y)$ налагаются условия: существуют такие числа $\mu>0$ и $p_1>1,\dots,p_n>1$, что для всех $y\in E^n$
$$ |a^i(y)|\le\mu\biggl(1+\sum^n_{j=1}|y_j|^{p_j}\biggr)^{1-1/p_i},\qquad i=1,\dots,n. $$
Изучаются слабые решения $u=u(x)$ уравнения (1), которые в $G$ имеют первые обобщенные производные $u_{x_j}$ в смысле С. Л. Соболева и, кроме того, $u_{x_j}\in L_{p_j}(G)$, $j=1,\dots,n$
Библиогр. 6 назв.