Некоторые неравенства для дробных полунорм

Для $1<p<\infty$ рассматриваются функциональные пространства $w_p^r(a,b)$, $1/p<r<1$, а также пространства $b_p^r(a,b)$ и $B^r_p(a,b)$, $1/p<r\le1$, состоящие из функций $f(x)$, для которых соответственно
\begin{align*} \|f\|_{w^r_p(a,b)}&\equiv\biggl(\int_a^b\int_a^b \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{1+pr}}\,dx\,dy\biggr)^{1/p}<\infty, \\ \|f\|_{b^r_p(a,b)}&\equiv\biggl(\int_a^b\int_a^b \frac{\bigl|f(x)-2f\bigl(\frac{x+y}2\bigr)+f(y)\bigr|^p}{|x-y|^{1+pr}}\,dx\,dy\biggr)^{1/p}<\infty, \\ \|f\|_{B^r_p(a,b)}&\equiv\|f\|_{L_p(a,b)}+\|f\|_{b^r_p(a,b)}<\infty. \end{align*}
Для произвольных пересекающихся интервалов $(a,b)$ и $(c,d)$ доказываются
Теорема 1. Если $f\in w_p^r(a,b)$ и $f\in w_p^r(c,d)$, то
$$ \|f\|_{w_p^r(a,d)}\le\frac5{r-1/p}(\|f\|_{w_p^r(a,b)}+\|f\|_{w_p^r(c,d)}). $$
\smallskip
Теорема 2. Если $f\in B_p^r(a,b)$ и $f\in B_p^r(c,d)$, то
$$ \|f\|_{b_p^r(a,d)}\le c_1(\|f\|_{b_p^r(a,b)}+\|f\|_{b_p^r(c,d)})+c_2\biggl(\frac{\|f\|_{L_p(a,b)}}{(b-a)^r}+\frac{\|f\|_{L_p(c,d)}}{(d-c)^r}\biggr). $$
\smallskip Рассматривается также случай функций нескольких переменных.
Библиогр. 6 назв.