Базисы из инвариантных подпространств и операторная интерполяция

Систематическое изложение подхода к задачам о базисах и интерполяции, разработанного Г. Шапиро и А. Шилдсом, В. Э. Кацнельсоном, Н. К. Никольскими Б. С. Павловым (см. об этом, например, К. Гофман, “Банаховы пространства аналитических функций”, М., ИЛ, 1963, и "Записки науч. семинаров ЛОМИ", т. 47, 1974, 90–119), дополненное рядом новых деталей. Новым является, в частности: 1) введение и использование понятия $l$-базиса из подпространств банахова пространства; 2) использование сильной квадратичной близости семейств подпространств (естественного аналога базисов Бари), что позволяет перенести на подпространственную (векторную) ситуацию теорию базисов Бари; 3) детальный разбор классических интерполяционных задач с кратностями в пространствах $H^2$ и $H^{\infty}$ (§ 3), и в частности усиление теоремы Кацнельсона; 4) новое доказательство интерполяционной теоремы Сарасона и на основе этой последней – доказательство следующей теоремы об интерполяции ростков аналитических функций: пусть $k$ – целочисленная функция в круге $\mathbb{D}=\{\zeta:|\zeta|<1\}$, $B=\prod_{\lambda\in\mathbb{D}}b_\lambda^{k(\lambda)}$ – соответствующее произведение Бляшке, $b_\lambda=(\lambda-z)(1-\lambda z)^{-I}|\lambda|/\lambda$; следующие утверждения равносильны: а) $|B(\zeta)|\ge\mathrm{const}\inf_\lambda|b_\lambda(\zeta)|^{k(\zeta)}$, $\zeta\in\mathbb{D}$; б) $f_\lambda\in H^{\infty}$, $\sup_\lambda\|f_\lambda\|_\infty<\infty\Rightarrow\exists f\in H^\infty:f-f_\lambda\in b_\lambda^{k(\lambda)}H^\infty$, $\forall\lambda$; подобная теорема имеет место и для произвольного набора делителей произвольной внутренней функции; условие а) есть обобщенное условие Карлесона (В. И. Васюнин); 5) сведения о геометрических особенностях семейств экспонент $\{e^{i\lambda z}:\lambda\in\sigma\}$ в $L^2(\mu)$-пространствах (и, в частности, признаки их базисности). Рассматриваются и другие вопросы (базисы суммирования, приложения к задачам о спекральных разложениях и др.). Лит. – 162 назв.