|
Труды ордена Ленина Математического института имени В. А. Стеклова, 1972, том 128, страницы 76–112
(Mi tm3158)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Приближенное решение уравнений Лапласа и Пуассона в весовых пространствах Гёльдера
Е. А. Волков
Аннотация:
Рассматривается приближенный метод решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа
и Пуассона на двумерной области с гладкой границей. Метод состоит в следующем. Сначала
на дискретной квадратной сетке с шагом $h$ находится разностное решение задачи
Дирихле. Затем разностное решение, являющееся как бы скелетом, продолжается с дискретной
сетки на заданную область с помощью локального оператора, использующего сеточные
значения функции в окрестности с радиусом $O(h)$ каждой точки области. Полученное таким
образом кусочно-полиномиальное (или бесконечно-дифференцируемое) приближенное решение
вкладывается в некоторое весовое пространство Гёльдера $C_{k,\lambda'}^{m,\mu'}$. Установлены требования
гладкости к границе области, граничным значениям, правой части уравнения и к граничным разностным операторам, при которых найденное приближенное решение
аппроксимирует искомое решение задачи Дирихле в весовом пространстве Гёльдера
$C_{k,\lambda'}^{m,\mu'}$ (в частности, в обычном пространстве Гёльдера $C_{k,\lambda'}$) с точностью $O(h^2)$. Рассмотрен случай уравнения Пуассона с неограниченной правой частью из весового пространства
$C_{-1,\lambda'}(m+\mu>1+\lambda)$, растущей вблизи всей границы области, как $\rho\lambda-1$, $0<\lambda<1$,
где $\rho$ – расстояние до границы. В этом случае приближенное решение аппроксимирует
искомое решение задачи Дирихле с точностью $O(h^{1+\lambda})$ в пространстве $C_{0,0}^{m,\mu}$, $0<\mu'<\mu$.
Доказываются теоремы представления разностных решений задачи Дирихле для уравнений
Лапласа и Пуассона на области с гладкой границей, играющие существенную роль при
исследовании разностных и аппроксимационных свойств приближенных решений на всей
области. Получены также весовые оценки погрешности производных высших порядков, вычисляемых непосредственно через разностное решение. При некоторых условиях эти
оценки являются равномерными на области и имеют порядок $O(h^2)$.
Библиогр. 33 назв., илл. 3.
Образец цитирования:
Е. А. Волков, “Приближенное решение уравнений Лапласа и Пуассона в весовых пространствах Гёльдера”, Сборник статей. II, Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятилетию, Тр. МИАН СССР, 128, 1972, 76–112; Proc. Steklov Inst. Math., 128 (1972), 85–129
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tm3158 https://www.mathnet.ru/rus/tm/v128/p76
|
|