Сходимость распределений функционалов от случайных последовательностей и процессов, заданных на всей оси

В работе изучается сходимость распределений различных функционалов от неограниченных случайных последовательностей и от процессов, заданных на $(0,\infty)$. Приведем два утверждения, которые являются типичными для работы. В качестве класса непрерывных функционалов от последовательностей $x=(x_1,x_2,\dots)$ рассмотрим так называемые $V$-непрерывные функционалы, которые определяются следующим образом.
Пусть
$$ V_{N,\alpha}=\bigcap_{k=N}^\infty\biggl\{\frac{x_k}{k}\le\alpha\biggr\}, \qquad V=\bigcup_{\alpha<0}\bigcup^\infty_{N=1}V_{N,\alpha}=\biggl\{x:\lim\sup\frac{x_k}k<0\biggr\}, $$
где $\Bigl\{\dfrac{x_k}k\le\alpha\Bigr\}$ означает совокупность $x$-ов, для которых $x_k\le\alpha k$. Функционал $f(x)$ называется $V$-непрерывным, если для любых $x\in V$, $\varepsilon>0$, $\beta>0$ найдутся $N=N(x,\varepsilon,\beta)$ и $\delta=\delta(x,\varepsilon,\beta)$ такие, что
$$ |f(x)-f(y)|<\varepsilon, $$
если только $y\in V_{N,-\beta}$, $\max_{j\le N}|x_j-y_j|<\delta$.
Пусть теперь дана случайная последовательность $\xi=(\xi_1,\xi_2,\dots)$ и последовательности $\xi^{(n)}=(\xi_1^{(n)}, \xi_2^{(n)},\dots)$, заданные, вообще говоря, на различных вероятностных пространствах.
Теорема 1. \textit{Для любого $V$-непрерывного функционала $f$ распределение $f(\xi^{(n)})$ слабо сходится при $n\to\infty$ собственному распределению $f(\xi)$ тогда и только тогда, когда выполнены условия.}
\textit{1. Конечномерные распределения $\xi^{(n)}$ сходятся к конечномерным распределениям $\xi$; $\mathbf{P}(\xi\in V)=1$.}
2.
$$ \lim_{\substack{N\to\infty\\ \beta\to0}}\overline\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(\xi(n)\notin V_{N,\beta})=0. $$

С помощью этой теоремы получаются достаточные условия сходимости для наиболее важных частных случаев.
Пусть, например, $\xi_k^{(n)}=\sum_{j=1}^k\eta_j^{(n)}$, $\xi_k=\sum_{j=1}^k\eta_j$, где $\eta^{(n)}=(\eta_1^{(n)}, \eta_2^{(n)},\dots)$ и $\eta=(\eta_1,\eta_2,\dots)$ есть стационарные последовательности. \smallskip
Теорема 2. \textit{Для любого $V$-непрерывного функционала $f$ распределение $f(\xi(n))$ слабо сходится к собственному распределению $f(\xi)$; если конечномерные распределения $\eta(n)$ сходятся при $n\to\infty$ к конечномерным распределениям $\eta$, $M_{N^{\eta_1}}<0$ и $M(\eta^{(n)};\eta_1^{(n)}\ge0)\to M(\eta_1;\eta_1\ge0)$.} Здесь $M_{N^{\eta_1}}$ – условное математическое ожидание относительно $\sigma$-алгебр $N$, инвариантных множеств последовательности $\eta$.
Рассмотрены и более широкие классы функционалов. Полученные результаты затем переносятся на процессы с непрерывным временем, заданные на $(0,\infty)$.
Библиогр. 10 назв.