Отображения упорядоченных пространств. I

Пусть в аффинном пространстве $A_n$ задан предпорядок, инвариантный относительно параллельных переносов, причем множество $P_x=\{y|y\ge x\}$ обладает следующими свойствами: (1) существует такая окрестность $U$ точки $x$, что $\overline P_x\cap \overline P^-\cap U=(x)$, где $P^-_x=\{y|y\le x\}$ и черта обозначает замыкание; (2) содержит конус с вершиной $x$, содержащий внутренние точки. Пусть $f$ – такой гомеоморфизм $A_n$ в $A_m'$, что любое $f(P_y)$ совмещается с $f(P_x)$ переносом $f(y)\to f(x)$.
Доказывается, что $f$ является аффинным отображением, за исключением особого случая, когда $P_x$ – “квазицилиндр”. Множество $M$ называется квазицилиндром $Q(E,\mathbf{l})$, где $E$ – плоскость и $\mathbf{l}$ – вектор или луч, если (1) существуют такие плоскости $E_i\parallel E$, получаемые $E_{i+1}$ из $E_i$ смещением на вектор $\mathbf{l}$, что $M=\cup(Z_i\cup(M\cap E_i))$, где $Z_i$ – цилиндр, образованный открытыми отрезками, равными $\mathbf{l}$, концами на $E_i$, $E_{i+1}$ не допускает указанного представления с вектором $\mathbf{l}'=a\mathbf{l}$, $|a|>1$. (Если $\mathbf{l}$ – луч, то $M=Z\cup(M\cap E)$, где $Z$ – цилиндр из открытых лучей $\parallel\mathbf{l}$ с началами на $E$.)
Если $P_X$ является квазицилиндром $Q(E^1,\mathbf{l}^1),\dots,Q(E^k,\mathbf{l}^k)$, то $f=f_0d_1\dots d_k$, где $f_0$ – аффинное отображение $A_n$ в $A'_m$, а $d_i$ – гомеоморфизм $A_n$ в себя, являющийся переносом на всякой плоскости $E\parallel E^i$ и переводящий отрезки, равные $\mathbf{l}^i$, в такие же отрезки. При этом допустимы любые такие $d_i$. Кроме того, $f(P_x)=f_0tP_x$, где $t$ – перенос, так что $f(P_x)$ всегда является аффинным образом $P_x$. Заведомо $k\le n$ и $\mathbf{l}^i\parallel E^j$, $i\ne j$.
Библиогр. 5 назв.