О полиномиальных следах и о модулях гладкости функций многих переменных

Пусть $\varphi_j(t)$ ($1\le j\le n$, $j$ – целое) – измеримые неотрицательные функции, определенные для $t>0$, функция $f(x)$, $x=(x_1,\dots, x_n)$ определена на “полосе”
$$ \overset{+}{E}{}_b^n=\{0<x_n<b\le+\infty\}, \qquad E^{n-1}=\{x_n=0\},\quad p\ge1, $$
и
$$ \Bigl|f,L_{p,\varphi_i,\varphi_n}^{r_ir_n}\Bigr|=\biggl|\varphi_i\frac{\partial^{r_i}f}{\partial x_i^{r_i}},L_p(\overset{+}{E}{}_b^n)\biggr|+\biggl|\varphi_n\frac{\partial^{r_n}f}{\partial x_n^{r_n}},L_p(\overset{+}{E}{}_b^n)\biggr|. $$
Доказано неравенство
$$ |\Delta^k_{h_i}f,L_p(E^{n-1})|\le c\Bigl|f,L_{p,\varphi_i,\varphi_n}^{r_ir_n}\Bigr|\Bigr[|h_i|^{r_i}G_i(t)+t^{r_n}G_n(t)\Bigr], $$
где
$$ G_j(t)=\frac1t\biggl[\int_o^t\varphi_j^{-q}(t)\,dt\biggr]^{\frac1q}, \qquad j=i,n; \quad \frac 1p+\frac1q=1, $$
$t>0$ – произвольный параметр, а постоянная $c>0$ не зависит от функции $f$. С помощью этого неравенства изучаются дифференциальные свойства следов функций из анизотропных весовых пространств и, в частности, дается критерий, когда след функции на гиперплоскости $E^{n-1}$ является многочленом.
Библиогр. 15 назв.