О приближении функций из пространства $C^r(\Omega)$ финитными функциями для произвольного открытого множества $\Omega$

Доказывается, что для того, чтобы для функции $f\in C^r(\Omega)$, где $\Omega$ – произвольное открытое множество, существовала такая последовательность $\varphi_s(x)$, что
\begin{equation} \varphi_s(x)\in C_0^\infty(\Omega), \qquad \lim_{s\to\infty}\|f-\varphi_s\|_{C^r(\Omega)}=0, \end{equation}
необходимо и достаточно, чтобы для любого $x\in\Gamma(\Omega)$
$$ \lim_{\substack{y\to x \\ y\in\Omega}}D^kf(y)=0 $$
и в случае неограниченного открытого множества
$$ \lim_{\substack{y\to\infty \\ y\in\Omega}}D^kf(y)=0. $$
Если ограниченное открытое множество $\Omega$ удовлетворяет условию $\Gamma(\Omega)=\Gamma(\overline\Omega)$, то для того, чтобы выполнялось (1), необходимо и достаточно, чтобы
$$ \Phi(x)=\begin{cases} f(x), &x\in\Omega \\ 0, &x\in\overline\Omega \end{cases} \in C^r(E_n). $$
Библиогр. 2 назв.