Параметрически-нормированные пространства и нормированные массивы

В работе вводятся новые понятия параметрической нормы, параметрически-нормированного пространства и нормированного массива. Эти понятия используются затем в ряде конкретных проблем. Даются основные определения, важнейшим из которых является определение нормированного массива и его варианта – нормированного массива с усиленным согласованием. Этому понятию предшествует интуитивно ясное понятие параметрической нормы, т.е. нормы, зависящей от одного или нескольких параметров. Между параметрическими нормами, заданными на одном и том же линейном пространстве, устанавливается некоторое отношение эквивалентности. Соответствующие классы эквивалентности и являются нормированными массивами, в рамках которых открывается удобный способ изучения некоторого класса банаховых норм, определенных с точностью до эквивалентности. Исследуются некоторые общие вопросы теории таких норм, как например, вопросы плотности и полноты, условия справедливости некоторых мультипликативных оценок, условия так называемого свойства “нормальности” нормированного массива, а также ряд технических лемм.
Кроме того, исследуется один специальный класс нормированных массивов, особенно тесно связанный с теорией приближения функций. Выясняется также связь теории этого нормированного массива с эргодическими теоремами. Описываются еще несколько более или менее частных нормированных массивов, также связанных с разными вопросами теории функций многих переменных. В частности, здесь исследуются классы функций с доминирующими смешанными производными и исследуются те области в $R_n$, которые дают наглядное изображение дифференциальных свойств функций по отношению к фиксированному базису (такие области называются “телами гладкости” функций). Рассматриваются вопросы теории интерполяции линейных операторов, теоремы вложения, некоторые вопросы, связанные с оператором преобразования Фурье. Библ. 36 назв.