Оценки в $L_p$ смешанных производных через дифференциальные многочлены

Пусть задан набор многочленов $P_j(\xi)=\sum\gamma_\alpha^j\xi^\alpha$ ($j=1,\dots,N$). Обозначим вершины наименьшего выпуклого многогранника $n$ (обозначение х.м.), содержащего все точки $\{\alpha\}$ для которых $\gamma_\alpha^i\ne0$ через $e^k$ ($k=1,\dots,N$). Пусть $Q(\xi)=\sum_{j=1}^N|P_j(\xi)|^2$. Многочлен $Q(\xi)$ называется допустимым, если существуют константы $\delta_1>0$ и $\delta_2>0$ такие, что неравенство
$$ \delta_1\sum_{k=1}^{N_0}|\xi^{e^k}|\le|Q(\xi)|\le\delta_2\sum_{k=1}^{N_0}|\xi^{e^k}| $$
выполняется для всех $\xi\in R_n$, где $e^k$ ($k=1,\dots,N$) – вершины х.м. $Q(\xi)$.
Tеopема. Если многочлен $Q(\xi)=\sum_{i=1}^N|P_i(\xi)|^2$ является допустимым, то для каждой точки $\nu$ при $\nu+\beta\in n$ имеет место неравенство
$$ \|D^\nu f\|_{L_q}\le C\sum_{j=1}^N\|P_j(D)f\|_{L_p}, $$
где $\beta=\frac1p-\frac1q$.
Доказывается аналогичная теорема, когда коэффициенты $\gamma^i_\alpha(x)$ зависят от $x\in E_n$, а также когда функции $f(x)$ обращаются в нуль вне некоторой области $\Omega$.
Библиография – 9 названий.