Метод составных сеток для конечных и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей

В работе дается полное обоснование предложенного автором метода составных сеток решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа на, вообще говоря, бесконечных двумерных областях с границей, которая всюду трижды дифференцируема, за исключением конечного числа точек, являющихся вершинами углов. Метод составных сеток в отличие от обычного метода равномерных сеток позволяет преодолеть трудности, связанные с неограниченностью области, наличием углов у области и наличием разрывов в вершинах углов у граничных значений, их производных и кривизн сторон, и состоит в следующем. В окрестностях угловых точек области, расположенных в ограниченной части плоскости, строится сгущающаяся полярная сетка. В окрестностях бесконечно удаленных вершин углов наносится разрежающаяся полярная сетка. Кроме того, строится основа – квадратная сетка с шагом $h$, покрывающая конечную часть области и пересекающаяся со всеми полярными сетками. Общее число узлов составной сетки равно $O(h^{-2}\ln h^{-1})$. На этой сетке рассматривается аппроксимирующая задачу Дирихле конечная система разностных уравнений, имеющая единственное решение, которое может быть вычислено методом итераций. В предположении, что граничная функция ограничена и всюду на границе, кроме вершин углов, непрерывна и имеет вторые производные, удовлетворяющие обобщенному условию Гёльдера, и при некоторых требованиях на убывание производных граничной функции на бесконечности и ограничениях на их рост в вершинах углов в работе получена оценка максимальной погрешности приближенного решения, имеющая неулучшаемый порядок $O(h^2)$. Метод же равномерных сеток, как показано на примере, даже на конечной области с кусочно-аналитической границей, имеющей угол $\alpha\pi$, $1/2<\alpha\le2$, $\alpha\ne 1$, при непрерывных на всей границе и аналитических в точках аналитичности границы граничных значениях, равных даже тождественно нулю на сторонах указанного угла, может давать сходимость со скоростью, не лучшей чем $O(h^{1/\alpha})$. В работе рассматривается также случай нулевых углов у области и при несколько более сильных требованиях к границе и граничным значениям в окрестностях этих углов устанавливается сходимость метода составных сеток с той же скоростью $O(h^2)$.
Библ. 28 назв., рис. 1.