Построение асимптотического ряда для собственных функций типа “прыгающего мячика”

В статье строятся асимптотические ряды для некоторых подпоследовательностей собственных функций задачи
$$ (\Delta+h^2)u(x,y)=0,\qquad u|_S=0 $$
для двумерной области с гладкой границей $S$. Собственные функции из этих подпоследовательностей сосредоточиваются вблизи некоторого устойчивого по первому приближению (для системы лучей геометрической оптики) диаметра $AB$ области. С каждым таким диаметром можно связать число
$$ \alpha=\arccos{\sqrt{\biggl(1-\frac{d}{R_A}\biggr)\biggl(1-\frac{d}{R_B}\biggr)}}, $$
где $d$ – длина диаметра; $R_A$, $R_B$ – радиусы кривизны границы в точках $A$ и $B$. Для устойчивого диаметра $0<\alpha<\pi$.
Для случая, когда $\frac1\pi\alpha$ иррационально, в статье строится бесконечный асимптотический ряд как для собственных функций, так и для собственных чисел. Ряд для собственных чисел имеет вид
$$ k_{np}=\frac1d\biggl\{n\pi+\biggl(p+\frac12\biggr)\alpha+\sum_{l=1}^\infty\frac{\alpha_{lp}}{n^l}\biggr\}. $$
Здесь $n\gg1$, $p$ ограничено.
Для случая, когда $\frac1\pi\alpha=\frac{m_1}{m_2}$, где $\frac{m_1}{m_2}$ – несократимая дробь, удается построить лишь конечный отрезок асимптотического ряда, тем больший, чем больше $m_2$.
Библ. – 5 назв., илл. 1.