Экстремальные свойства гиперболического трансфинитного диаметра и однолистные функции в кольце

Пусть $\{E\}$ – семейство континуумов, содержащихся в круге $|w|<1$ и имеющих данный гиперболический трансфинитный диаметр $\rho$, $0<\rho<1$; $d_n(E)$ – $n$-й гиперболический диаметр $E$. Рассматривается задача нахождения $\max d_n(E)$ в указанном семействе при $n\ge3$. Показывается, что каждый экстремальный континуум этой задачи состоит из замыканий дуг траекторий некоторого квадратичного дифференциала. В случае $n=3$ путем геометрического анализа поведения траекторий показывается, что одним из экстремальных континуумов являются три отрезка равной длины, выходящие из начала под равными углами друг к другу, и все другие экстремальные континуумы рассматриваемой задачи получаются из указанного посредством дробно-линейного отображения круга $|w|<1$ в себя. Приводятся следствия этой теоремы. При надлежащем предельном переходе получаются хорошо известные результаты для семейства континуумов с данным трансфинитным диаметром.
Библ. – 9 назв.