Неравенство разных метрик С. М. Никольского и свойства последовательности норм сумм Фурье функции из пространства Лоренца

Пусть $(X,Y)$ — пара нормированных пространств таких, что $X\subset Y\subset L_1[0,1]^n$, $\{e_k\}_k$ — некоторая расширяющаяся последовательность конечных множеств из $\mathbb Z^n$ относительно скалярного или векторного параметра $k$, $k\in \mathbb N$ или $k\in \mathbb N^n$. Изучаются свойства последовательности норм $\{\|S_{e_k}(f)\|_X\}_k$ сумм Фурье фиксированной функции $f\in Y$. В качестве пространств $X$, $Y$ рассмотрены пространства Лебега $L_p[0,1]$, Лоренца $L_{p,q}[0,1]$, $L_{p,q}[0,1]^n$, анизотропные пространства Лоренца $L_{\mathbf p,\mathbf q^\star }[0,1]^n$. Последовательность $\{e_k\}_k$ в одномерном случае — это отрезки, а в многомерном является последовательностью гиперболических крестов или последовательностью параллелепипедов из $\mathbb Z^n$. Для тригонометрических полиномов со спектром из ступенчатых гиперболических крестов и параллелепипедов получены различные формы неравенств разных метрик в пространствах Лоренца $L_{p,q}[0,1]^n$, $L_{\mathbf p,\mathbf q^\star }[0,1]^n$.