О некоторых критериях типа Ф. Рисса в теории функций множеств

В работе предлагаются и устанавливаются некоторые новые критерии типа Ф. Рисса для функций множеств суммируемости первообразной в $p$-й степени. Наряду с метриками $L_p$ рассматриваются метрики, порожденные выпуклыми функциями. Приведем одну из теорем.
Пусть $(X,S,\mu)$ – пространство с $\sigma$-конечной, полной и непрерывной мерой $\mu$. Для того чтобы функция $\Phi(E)$, заданная на множествах $E\in S$, представлялась в виде интеграла
$$ \Phi(E)=\int_E f(P)\,d\mu $$
от функции $f(P)$, определенной на всем $X$, где $E\in S$, $f(P)\in L_{M(E)}(E')$, $E'$ – любое измеримое множество конечной меры, необходимо и достаточно, чтобы она была, $\sigma$-конечной, счетно-аддитивной и чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлось бы такое $\delta>0$, что для любой конечной системы $\{e_i\}$, $e_i\in S$, $e_i\cap e_j=\varnothing$, $i\neq j$, $e=\bigcup e_i$ с мерой $\mu e<\delta$
$$ \sum_i M\biggl(\frac{\Phi(e_i)}{\mu e_i}\biggr)\mu e_i<\varepsilon, $$
где $M$ – выпуклая функция определенного класса.
Библиогр. – 6 назв.