О склейке функций из пространств $W^r_{p,\theta}$

Рассматриваются пространства $W^r_{p,\theta}(\Omega)$, $1\leq p,\theta<\infty$, $0\le r<\infty$ с нормой
\begin{equation} \|f\|_{W^r_{p,\theta}(\Omega)}\equiv\sum_{|k|\le m}\|D^kf\|_{L_p(\Omega)}+ \sum_{|k|=m}\|D^kf\|_{W^\alpha_{p,\theta}(\Omega)}, \end{equation}
где $m=[r]$, $\alpha=r-[r]$ и
$$ \|\varphi\|_{W^\alpha_{p,\theta}(\Omega)}\equiv\biggl\{\int_{R^n}\frac{dy}{|y|^{n+\theta\alpha}}\biggl( \int_{\Omega(y)}|\Delta(y)\varphi(y)|^p\,dx\biggr)^{\theta/p}\biggr\}^{1/\theta} $$
(второе слагаемое в (1) прибавляется лишь в случае $\alpha\neq0$). Доказано, что если $f_1\in W^r_{p,\theta}(\Omega_1)$, $f_2\in W^r_{p,\theta}(\Omega_2)$, где $\Omega_1\subset R^n$ – ограниченная область с границей $S$ класса $C^{m+1}$, $\Omega_2=R^n\setminus\overline{\Omega}_1$, то функция
$$ f(x)= \begin{cases} f_1(x),& x\in\Omega_1,\\ f_2(x),& x\in\Omega_2, \end{cases} $$
принадлежит $W^r_{p,\theta}(R^n)$ тогда и только тогда, когда
1) если $0\le\alpha<1/p$, то почти всюду выполняются равенства
\begin{equation} \frac{\partial^s f_2}{\partial\nu^s}\biggr|_S=\frac{\partial^s f_1}{\partial\nu^s}\biggr|_S,\qquad s=0,\dots,m-1, \end{equation}
где $\nu$ – единичный вектор внешней нормали к $S$;
2) если $\alpha=1/p$, то выполняются равенства (2) и конечен интеграл
$$ \int_0^\varepsilon\frac{dh}{h^{1+\theta/p}} \biggl(\int_S dS\int_{-h}^h\biggl| \frac{\partial^mf_2}{\partial\nu^m}(y+(t+h)\nu)- \frac{\partial^mf_1}{\partial\nu^m}(y+(t-h)\nu)\biggr|^p\,dt\biggr)^{\theta/p}, $$
где $\varepsilon$ – достаточно малое число;
3) если $1/p<\alpha<1$, то выполняются равенства (2) и почти всюду
$$ \frac{\partial^m f_1}{\partial\nu^m}\biggr|_S=\frac{\partial^m f_2}{\partial\nu^m}\biggr|_S. $$

Рассматриваются также условия, при которых функция из $W^r_{p,\theta}(\Omega)$ может быть продолжена нулем на $R^n$ с сохранением класса.
Библиогр. – 7 назв.