Оценки дифференциальных операторов и гипоэллиптические операторы

Пусть $P(\xi)=\sum_\alpha\gamma_\alpha\xi^\alpha$ – данный многочлен, отвечающий дифференциальному оператору $P(D)=\sum_\alpha\gamma^\alpha D^\alpha$. Рассматриваются следующие задачи: 1) для каких мультииндексов $\nu$ имеет место оценка
$$ |\xi^\nu|\le C(1+|P(\xi)|),\qquad\forall\xi\in R_n; $$
2) найти множество многочленов $\{Q(\xi)\}$, слабее $P(\xi)$ в смысле Л. Хёрмандера; 3) найти условия на обобщенно-однородные части многочлена $P(\xi)$ того, чтобы многочлен $P(\xi)$ был гипоэллиптическим или частично-гипоэллиптическим.
Поставленные задачи и ряд вспомогательных задач решаются в случае, когда характеристический многогранник $\mathfrak N$ (х.м.) данного многочлена $P(\xi)$ (т.е. наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки $\alpha$, для которых $\gamma_\alpha\neq0$ в многочлене $P(\xi)$ имеет $P$-нерегулярную грань размерности $k\le n-1$, а $P$-нерегулярность данной грани означает, что если положить
$$ P^{i,k}(\xi)=\sum_{\alpha\in\mathfrak N_i^k}\gamma_\alpha\xi^\alpha, $$
где $\mathfrak N_i^\alpha$ – $k$-мерные грани х.м. $\mathfrak N$ ($k=0,1,\dots,n-1$), то грань $\mathfrak N_i^k$ будет называться $P$-нерегулярной, если существует точка $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n)$, $\prod\limits_{j=1}^n\eta_j\neq0$ такая, что $P^{i,k}(\eta)=0$. При решении этих задач ставятся некоторые вспомогательные ограничения на исследуемый многочлен. В случае, когда $k=n-1$, часть полученных в данной статье результатов была известна.
Библиогр. – 19 назв.