Об одном способе продолжения дифференцируемых функций

Предлагается новый способ продолжения функций за пределы области определения. В случае, когда $\Omega=\{x\in E_n,x_n<\varphi(\overline{x})\}$, $\overline{x}=(x_1,\dots,x_{n-1})$, где $\varphi(\overline{x})$ – функция, удовлетворяющая условию Липшица с показателем $\gamma$, $0<\gamma\le1$, рассматриваются множества $G_m=\{x\in E_n,2^{-m-1}<x_n-\varphi(\overline{x})\le2^{-m}\}$, $m=0,\pm1,\pm2,\dots$, строится соответствующее разбиение единицы $\psi_m(x)$ и полагается $(Tf)(x)=f(x)$, $x\in\Omega$, и
$$ (Tf)(x)=\sum_{m=-\infty}^\infty\psi_m(x)\int_{E_n}\omega(z)f(\overline{x}-2^{-m/\gamma_{\overline{z}}}, x_n-A2^{-m}z_n)\,dz,\qquad x\in E_n\setminus\overline{\Omega}, $$
где $\omega(z)$ – некоторое специальное ядро усреднения, а $A$ – постоянная, не зависящая от $f$ и $m$.
Рассматриваются открытые множества с границей $\Gamma(\Omega)$ класса $\operatorname{Lip}\gamma$ (или $\widetilde{\operatorname{Lip}\gamma}$) и для них с помощью оператора $T$ и разбиения единицы строится оператор продолжения $S$. Доказывается ряд теорем о продолжении с сохранением и (при $0<\gamma<1$) с минимальным ухудшением класса для пространств Соболева, характеризующихся конечностью норм
$$ \|f\|_{W^l_p(\Omega)}=\sum_{|\alpha|\le l}\|D^\alpha f\|_{L_p(\Omega)},\qquad \|f\|_{W^{l,\dots,l}_p(\Omega)}=\|f\|_{L_p(\Omega)}+\sum_{i=1}^n\|D_i^l f\|_{L_p(\Omega)}. $$

Ранее известные результаты о продолжении для этих пространств развиваются и дополняются в следующих направлениях: 1) оба варианта пространств рассматриваются при $1\le p\le\infty$ (граница $\Gamma(\Omega)\in\operatorname{Lip}\gamma$ (или $\widetilde{\operatorname{Lip}\gamma}$) при $0<\gamma\le1$); 2) продолжающая функция $(Sf)(x)$ бесконечно дифференцируема для $x\in E_n\setminus\overline\Omega$, причем порядок роста производных $D^\alpha(Sf)$, $|\alpha|>l$, при подходе к границе является в некотором смысле наилучшим.
Библиогр. – 35 назв.