Деформации алгебры Ли $W_1(m)$

Пусть $(L,[\quad]$ – алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем $P$. Как известно (РЖМат, 1965, 9А264), коциклу $\sigma\in\mathbb Z^2(L,L)$ (или соответствующему классу из второй группы когомологий $H^2(L,L)$), называемому локальной деформацией алгебры $L$, при выполнении определенных условий отвечает глобальная деформация $(L,\circ,\sigma)P(T))$:
$$ x\circ y=[x,y]+T\sigma_1(x,y)+T^2\sigma_2(x,y)+\dotsb,\quad\text{где}\quad \sigma_1=\sigma. $$
Если к тому же допустима специализация, при которой параметр $T$ принимает значения в основном поле $P$, то возникает параметрическое (возможно, тривиальное) семейство алгебр. Для классических алгебр Ли группа $H^2(L,L)$ – нулевая, если $\operatorname{char}P>3$ (РЖМат, 1972, A516), однако для алгебр картановских серий (РЖМат, 1969, 11А254) это заведомо не так, хотя общая картина остается мало изученной. Авторы предлагают описание деформаций в случае алгебры Витта–Цассенхауза $W_1(m)$ размерности $p^m$ ($m\ge1$, $p=\operatorname{char}P$. Доказывается, что $\dim H^2(L,L)=3m-2$ $(p>3)$ или $3m-3$ ($p=3$). Исследуются условия существования глобальных деформаций, являющихся простыми алгебрами. Устанавливается корреляция между деформациями $W_1(m)$ и фильтрованными алгебрами гамильтоновского типа $\overline{H_1(\mathscr{F})}$. Лит. – 6 назв.