О гладкости решений задачи Дирихле и методе составных сеток на многогранниках

Рассматривается задача Дирихле для уравнения Лапласа на ограниченном многограннике. Предлагается метод составных сеток решения этой задачи. В предположении, что заданные граничные значения непрерывны на границе многогранника и на каждой грани имеют вторые производные, удовлетворяющие условию Гёльдера, строятся оценки роста производных решения задачи Дирихле до четвертого порядка в зависимости от расстояния текущей точки до границы, до ближайшего ребра и до ближайшей вершины многогранника. Полученнные оценки производных позволили обосновать равномерную сходимость разностного решения на составной сетке со скоростью $O(h^2\ln h^{-1})$ при общем числе узлов, равном $O(h^{-3}\ln^2h)$. Система разностных уравнений на составной сетке может быть решена альтернирующим методом Шварца (путем последовательного решения разностных уравнений на стандартных сетках) с равномерной точностью $\varepsilon>0$ за число итераций $O(\ln\varepsilon^{-1})$, асимптотически не зависящее от $h$. Разностный метод и оценка скорости сходимости переносятся на задачу Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью, которая может быть достаточно гладко продолжена на некоторую область, содержащую замкнутый многогранник.
Библиогр. – 27 назв.