Конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева и О. В. Бесова

В работе развивается теория псевдоаналитического продолжения функций из пространств $B^s_p[-1,1]$, $s>0$, $1\le p\le\infty$, и $W^l_p[-1,1]$, $l=1,2,\dots$, $1<p<\infty$. Описываются три способа такого продолжения с помощью квазиконформной симметрии, локальных и глобальных полиномиальных приближений. Полученные результаты применяются для конструктивной характеризации $B_p^s$ и $W_p^l$ с помощью приближений алгебраическими многочленами.
Теорема 1. {\it $f\in B_p^s[-1,1]\Leftrightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac1n E_n(f)^p<\infty$, где
$$ E_n(f)=\inf\biggl\{\biggl(\int_{-1}^1|f(x)-P_n(x)|^p \biggl(\frac1n\sqrt{1-x^2}+\frac1{n^2}\biggr)^{-ps}dx\biggr)^{1/p},\text{ $P_n$~-- многочлен степени $n$}\biggr\}. $$
}
Теорема 2. {\it $f\in W^l_p[-1,1]\Leftrightarrow \int_{-1}^1\Bigl\{ \sum\limits_{n=0}^\infty|f(x)-P_{2^n}(x)|^2(2^{-n}\sqrt{1-x^2}+4^{-n})^{-2l} \Bigr\}^{p/2}dx<\infty$ для некоторых многочленов $P_{2^n}$ степени $2^n$.}
Теорема 1 является $L^p$-аналогом известной теоремы С. М. Никольского–А. Ф. Тимана.
Теорема 2 – непериодический аналог теоремы Литтлвуда–Пэли о двоичном разложении.
В работе также получены аналогичные результаты для аналитических функций в области “с углами” и изучено поведение рассматриваемых пространств под действием операторов Фабера–Теплица.
Лит. – 27 назв.