Точные решения некоторых вариантов уравнений гравитационного поля

Предлагается простой способ построения точных решений нелинейного уравнения вида
\begin{equation} \sum_{i,k=1}^n a_{ik}(x)\biggl[A(\Phi)\frac{\partial^2\Phi} {\partial x_i\partial x_k}B(\Phi)\frac{\partial\Phi}{\partial x_i} \frac{\partial\Phi}{\partial x_k}\biggr]=0 \end{equation}
и систем нелинейных уравнений вида
\begin{equation} \sum_{i,k=1}^n a_{ik}(x)\sum_{j=1}^m\biggl[ A_l^j(\Phi_1,\dots,\Phi_m)\frac{\partial^2\Phi_j} {\partial x_i\partial x_k}\sum_{s=1}^m B_l^{js}(\Phi_1,\dots,\Phi_m) \frac{\partial\Phi_j}{\partial x_i} \frac{\partial\Phi_s}{\partial x_k}\biggr]=0, \end{equation}
где $a_{ik}(x)$ – заданные функции точек $x$ пространства $E_n$ переменных $x_1,\dots,x_n$, а $A(\Phi)$, $B(\Phi)$ и $A^j_l(\Phi_1,\dots,\Phi_m)$, $B^{js}_l(\Phi_1,\dots,\Phi_m)$ – также заданные функции искомых величин $\Phi$ и $\Phi_1,\dots,\Phi_m$ соответственно.
К классу (1) относится уравнение
\begin{equation} \square\Phi+\frac12\mu^2\Phi\square\Phi^2=0, \end{equation}
встречающееся в теории гравитационного поля, а к классу (2) система
\begin{equation} \begin{aligned} (\operatorname{Re}E+\Phi\overline{\Phi})\nabla E-(\nabla E+2\overline{\Phi} \nabla\Phi)\nabla E&=0,\\ (\operatorname{Re}E+\Phi\overline{\Phi})\nabla\Phi-(\nabla E+2\overline{\Phi} \nabla\Phi)\nabla\Phi&=0, \end{aligned} \end{equation}
хорошо известная в общей теории относительности.
Этот способ позволяет выписать в квадратурах общее решение уравнения (3) и классы решений системы (4).
Библиогр. – 10 назв.