Мартингальный подход в задачах о времени первого пересечения нелинейных границ

Рассматривается задача о вычислении распределения времени первого пересечения $\tau=\inf\{t\ge0,S_t>f(t)\}$, где $f(t)$– нелинейная граница, $f(0)>0$, и $S_t$ – процесс с независимыми приращениями, $\mathsf S_t=0$, $t\in[0,\infty)$ или $\{0,1,2,\dots\}$. С помощью техники, основанной на теории мартингалов, найдены все моменты $\tau$ в случае устойчивых процессов порядка $\alpha$ без положительных скачков и границы $f(t)=at^{1/\alpha}+c$. Для некоторых других случаев указана асимптотика вероятности $\mathsf P\{t>T\}$ при $T\to\infty$. В частности, из теорем 2 и 3 работы следует, что если $S_t$ – стандартный винеровский процесс и $f(t)$ – монотонная выпуклая или вогнутая граница, то
$$ \int_1^\infty|f(t)|t^{-3/2}\,dt<\infty\Leftrightarrow\mathsf P\{\tau>T\}\sim T^{-1/2}\mathsf E \rho_\tau\sqrt{\frac2{\pi}},\quad T\to\infty, $$
где $\mathsf E \rho_\tau$ – конечная и положительная константа.
Библиогр. – 27 назв.