Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью

В статье рассматривается первая краевая задача для дифференциального уравнения
\begin{equation} Lu\equiv\sum_{|k|,|l|\leq r}(-1)^{|l|}D^l(a_{kl}(x)D^ku)=F(x),\qquad x\in\Omega,\tag{1} \end{equation}
вырожденная на границе $\partial\Omega\equiv\Gamma$ ограниченной области $\Omega\subset R^n$. Вырождение характеризуется следующим условием:
\begin{equation} \sum_{|k|,|l|\leq r}a_{kl}(x)\xi_k\xi_l\geq\frac{x}{\rho(x)^{2\alpha}}\sum_{|k|=r}\xi_k^2.\tag{2} \end{equation}
Кроме того, коэффициенты $a_{kl}$ предполагаются симметричными, измеримыми в $\Omega$ функциями, удовлетворяющими при некотором целом $\gamma\geq0$ условиям
\begin{equation} |D^\lambda a_{k\lambda}(x)|\leq\frac{M^2}{[\rho(x)]^{2(r+\alpha)-|k|-|l|+|\lambda|}}\qquad (|\lambda|\leq\gamma).\tag{3} \end{equation}
Параметры $\alpha$ подчинены ограничениям:
$$ -r<\alpha<-r+1/2,\qquad s_0=[r+\alpha-1/2]\geq r/2. $$
Вариационным методом ищется обобщенное решение $U$ уравнения (1) с конечной нормой
$$ \int\biggl(\rho^{2\alpha}\sum_{|k|=r}|D^ku|^2+|u|^2\biggr)\,dx, $$
удовлетворяющее на границе $\Gamma$ условиям
$$ u|_\Gamma=\varphi_0,\quad\frac{\partial u}{\partial n}\biggr|_\Gamma=\varphi_1, \dots,\frac{\partial^{s_0-1}u}{\partial n^{s_0-1}}\biggr|_\Gamma=\varphi_{s_0-1}, $$
где функции $\varphi_j$ принадлежат соответствующим пространствам Бесова.
Сначала рассматривается однородная краевая задача. Получена теорема существования и единственности решения $U$ при $\gamma=0$. Доказаны теоремы о повышении гладкости решения при $\gamma>0$. Даны коэрцитивные оценки решения и теоремы изоморфизма.
Перечисленные результаты перенесены на случай неоднородной краевой задачи при некоторых дополнительных требованиях на коэффициенты.
Основное внимание уделяется случаю $0\leq\gamma<r$, когда краевая часть уравнения является обобщенной функцией надлежащего класса (случай $\gamma\geq2$ рассмотрен в предыдущей работе авторов).
Библиогр. – 9 назв.