О локальном характере некоторых свойств полных ортонормированных систем

В работе рассматриваются ортонормированные на отрезке [0,1] системы $\{\varphi_n(x)\}$, обладающие следующим свойством:
Для некоторого множества $E\subset[0,1]$, $\mu(E)>0$, какова бы ни была функция $f(x)\in L_2(E)$, существует ряд $\sum a_n\varphi_n(x)$, $\sum a^2_n<\infty$ сумма которого совпадает с $f(x)$ почти всюду на $E$.
Доказывается, что для таких систем $\{\varphi_n(x)\}$ верны следующие утверждения:
1) Существует перестановка $\{\nu_n\}$ натуральных чисел и последовательность $\{a_n\}$, $\sum a^2_n<+\infty$, такие, что ряд $\sum a_n\varphi_{\nu_n}(x)$ расходится почти всюду на $E$.
2) Ряды $\sum[\varphi_n^-(x)]^2$ и $\sum[\varphi_n^+(x)]^2$ расходятся почти всюду на $E$.
Первое утверждение представляет обобщение известной теоремы Ульянова–Олевского [5, 6] о расходимости после перестановок рядов из $L_2$ по полным ортонормированным системам. Второе утверждение является обобщением теоремы В. Я. Козлова [7] о распределении положительных и отрицательных значений функций полной ортонормированной системы.
Библиогр. – 12 назв.