Инвариантные решетки типа $G_2$ и их группы автоморфизмов

Пусть $L$ – простая комплексная алгебра Ли одного из типов $G_2$, $E_s$, $B_2m_{-1}$ $D_2m$. Ее мультипликативному ортогональному разложению (MOP) $L=\bigoplus_{k=0}^hH_k$, $h$ – число Кокстера, $[H_i,H_j]=H_k$ (см.: РЖ ВИНИТИ. Математика, 1982) с группой $G=\operatorname{Aut}_{\mathrm{MOP}}(L)$, действующей транзитивно на множестве $\{H_k|k=0,1,\dots,h\}$ подалгебр Картана, ставится в соответствие $G$-инвариантная положительно определенная решетка $\Lambda=\bigoplus_{k=0}^h\Lambda^k$ с метрикой, индуцированной формой Киллинга на $L$. Предлагается исследовать все $G$-инвариантные подрешетки в $\Lambda$ (они называются решетками того же типа, что и алгебра $L$). Высказывается гипотеза, что число классов подобия $G$-инвариантных невырожденных решеток данного типа конечное число. Основным результатом является следующая теорема:
В решетке $\Lambda$ типа $G_2$ имеется, с точностью до подобия и изометрии, всего пять собственных невырожденных $G$-инвариантных подрешеток $\Lambda_i$, $0\le i\le4$. Среди них ровно одна решетка, а именно $\Lambda_0$, не содержит $2\Lambda$, но содержит $4\Lambda$. Ее группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\Lambda_0)$ изоморфна $Z_2\times G_2(3)$, где $G_2(3)$ – простая группа Диксона–Шевалле порядка 4 245 696.
При исследовании $\operatorname{Aut}(\Lambda_0)$ использовалась ЭВМ ЕС-1035. Ранее П. Смитом и Дж. Томпсоном при помощи ЭВМ была построена $G$-инвариантная решетка типа $E_8$ с группой автоморфизмов – спорадической простой группой Томпсона, но описания всех $G$-инвариантных решеток этого типа пока нет.
Табл. 7. Библиогр. – 12 назв.