Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций

Пусть $f(x)$ – $2\pi$-периодическая функция ($f\in L^1$), $s_n(f,x)$ – $n$-я сумма Фурье $f$, $E_n(f)$ – величина наилучшего приближения $f$ в $L^1$ тригонометрическими полиномами порядка $n$.
Доказано, что если $\{k_n\}$ – произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел, то для почти всех $x$
\begin{equation} s_{k_n}(f,x)=o_x(\log n),\quad n\to\infty.\tag{1} \end{equation}
Если же
\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty\frac{E_{k_n}(f)}n<\infty,\tag{2} \end{equation}
то последовательность $s_{k_n}(f,x)$ сходится к $f(x)$ почти всюду.
Далее, установлено, что если для $\{k_n\}$ выполнено следующее условие лакунарности:
$$ \inf_n\frac{\log\biggl(n\log\frac{k_{n+1}}{k_n}\biggr)}{\log n}>0, $$
то оценка (1) и достаточное условие (2) являются точными в своих терминах, т.е. для любой последовательности $\{\varepsilon_n\}$, $\varepsilon_n\downarrow0$, ($n\to\infty$), найдется функция $f\in L^1$, такая, что почти всюду $s_{k_n}(f,x)\ne O(\varepsilon_n\log n)$, $n\to\infty$, а если $\Sigma n^{-1}\varepsilon_n=\infty$, то существует $f\in L^1$, для которой $E_{k_n}(t)\le\varepsilon_n$, $n=1,2,\dots,$ и при этом последовательность $s_{k_n}(f,x)$ неограниченно расходится почти всюду. Библиогр. – 17 назв.