Линейные средние рядов и интегралов Фурье и скорость их сходимости

Исследуются условия сходимости линейных средних рядов (интегралов) Фурье
$$ \tau_n(f;x)=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x+t) \biggl[\frac{\lambda_0}2+\sum_{1}^n\lambda_k\cos{kt}\biggr]dt $$
в метрике пространства $L_1$ и $C$. Кроме того, получены оценки скорости сходимости линейных средних при некоторых условиях гладкости функции $f$.
Теорема. Пусть функция $f(x)\in C(-\pi,\pi)$ или $f(x)\in L_1$. Для любой функции $\varphi(t)\geq0$, для которой имеют смысл интегралы
$$ \delta_{kl}(\varphi)=\int_0^\infty\varphi(t)\sin{\biggl(l+\frac12\biggr)t}\,dt, \qquad\chi_n(\varphi,f)=\int_{\pi/n}^\pi \frac{\omega(f;t)^2_p\,dt}{t^2\varphi(t)}, $$
имеет место оценка ($p=1$, $p=\infty$)
$$ \|\tau_n(f;x)-f(x)\|_p\leq c\omega\biggl(f;\frac\pi n\biggr)_p\frac1n \sum_{k=0}^n|\lambda_k|+ c\biggl\{\chi_n(\varphi,f)+\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\Delta\lambda_k\Delta\lambda_l \delta_{kl}(\varphi)\biggr\}^{1/2}. $$
Библиогр. – 7 назв.