Суперпозиции функций и коэффициенты Фурье

Пусть $\omega(\delta)$ – модуль непрерывности, а $a_m(t)$ – коэффициенты Фурье–Хаара от функций $f\in L(0,1)$. В работе изучаются множества вида
$$ A_\omega=\{f:f\in L(0,1),A_\omega(f)\},\text{ где }A_\omega(f)=\sum_{m=2}^\infty\omega(|a_m(f)|). $$
Устанавливаются, например, такие утверждения:
Теорема 3. {\it Пусть модуль непрерывности $\omega(\delta)\not\equiv 0$ и удовлетворяет условию Бари, т.е.
$$ \int_0^\delta\frac{\omega(t)}{t}\,dt\le B\omega(\delta)\quad\text{ при }0\le\delta<\infty\quad(B=\operatorname{const}). $$
Тогда, чтобы для конечной на $(-\infty,\infty)$ функции $\varphi$ выполнялось включение
$$ \varphi(f)\in A_\omega,\quad\text{ как только }f\in A_\omega, $$
необходимо и достаточно, чтобы функция $\varphi\in\operatorname{Lip}_{D^1}$, при некоторой постоянной $D>0$.}
Теорема 5. {\it Пусть $\omega(\delta)$ – модуль непрерывности. Тогда, чтобы неравенство
$$ A_\omega(\varphi(f))<C_{\omega,\varphi}A_\omega(f) $$
выполнялось при всех $f\in L(0,1)$ и всех $\varphi\in\operatorname{Lip}_{D^1}$, необходимо и достаточно, чтобы $\omega(\delta)$ удовлетворял условию Бари (1)}. Библиогр. – 5 назв.