О сильной суммируемости рядов Фурье

Пусть $f(x)$ – суммируемая $2\pi$-периодическая функция, $\tilde{f}(x)$ – сопряженная с $f$, $S_n(f,x)$ – $k$-я сумма Фурье, $R_n(f,x)=f(x)-S_k(f,x)$. В работе установлено, что если функция $\Phi(u)$ – четная, всюду непрерывная, выпуклая на всей вещественной оси, $\Phi(0)=0$ и выполнена оценка
$$ \log\Phi(u)=O\biggl(\frac{u}{\log\log u}\biggr)\qquad (u\to\infty), $$
то для почти всех $x$
$$ \frac1n\sum_{k=1}^n\{\Phi(R_k(f,x))+\Phi(\widetilde{R}_k(f,x))\}\qquad (n\to\infty). $$
Это утверждение обобщает известный результат И. Марцинкевича–А. Зигмунда о сильной $p$-суммируемости рядов Фурье, соответствующий функциям $\Phi(u)=|u|^p$ ($p\ge1$). Основу доказательства составляют оценки максимального оператора вида
$$ J_p(f,x)=\sup\{n^{-1/p}H(fT,x):T\in T_n,\|T\|_p\le1,n=1,2,\dots\}, $$
где $H$ обозначает оператор максимального преобразования Гильберта, а $T_n$ – множество тригонометрических полиномов порядка $n$. Библиогр. – 11 назв.