О сходимости слабого гриди-алгоритма

Изучается сходимость в гильбертовом пространстве слабого гриди-алгоритма (СГА), который является модификацией чисто гриди-алгоритма (ЧГА). На $m$-м шаге СГА приближающий элемент из заданного словаря $\mathcal D$ выбирается удовлетворяющим условию $|\langle f^\tau _{m-1},\varphi ^\tau _m\rangle | \ge t_m \sup _{g\in \mathcal D}|\langle f^\tau _{m-1},g\rangle |$ с $0\le t_m\le 1$, которое является ослаблением соответствующего условия в ЧГА. В случае $t_k=1$, $k=1,2,\dots $, СГА совпадает с ЧГА. Известно, что СГА сходится при условии $\sum _{k=1}^\infty \frac {t_k}{k} = \infty $. Основным результатом настоящей работы является доказательство следующей теоремы. Пусть $t_1\ge t_2 \ge \dots \ge 0$ и соответствующий СГА сходится для всех элементов любого сепарабельного гильбертова пространства при любом словаре. Тогда $\sum _{k=1}^\infty\frac {t_k}{k} = \infty$.