Об аналоге для бесконечного промежутка неравенства Лизоркина–Никольского

Пусть $L^r_{p,\alpha}$ – пространство функций $f(t)$, для которых конечен функционал $\|t^\alpha f^{(r)}(t)\|_{L_p(1,+\infty)}$, $r\in\mathbf N$, $\alpha\in\mathbf R$, $1\le p\le+\infty$. Известно, что каждая функция $f\in L^r_{p,\alpha}$ при $t\to\infty$ стабилизируется в определенном смысле к некоторому многочлену $P(t)=\sum_{s=0}^{r-1}a_st^s$. Доказывается неравенство
$$ |f(x)|\le c\biggl(\sum_{\nu=0}^{k-1}|f^{(i_\nu)}(1)|+\sum_{\mu=0}^{l-1}a_{j_\mu}+\|t^\alpha f^{(r)}(t)\|_{L_p(1,+\infty)}\biggr), $$
где $k+l=r$, а $i_0,i_1,\dots,i_{k-1},j_0,j_1,\dots,j_{l-1}$ – некоторые допустимые наборы индексов. Библиогр. – 7 назв.