О случайных отображениях с ограничениями на число циклов

Рассматриваются однозначные отображения множества из $n$ элементов в себя, граф которых содержит ровно $m$ компонент связности. На множестве всех таких отображений задается равномерное распределение и изучаются случайные величины $\lambda^{(n,m)}$ и $\lambda_r^{(n,m)}$ , равные соответственно числу циклических точек и числу деревьев в графе случайного отображения, содержащих $r$ некорневых вершин. Найдены предельные распределения этих случайных величин при $n\to\infty$ и $m/\ln m\le\gamma<\infty$. Поведение числа циклических точек описывается следующим теоремами:
Теорема 6. Если $n\to\infty$, $m/\ln n\to0$, то равномерно относительно целых $N$, для которых $z=N/\sqrt n$ лежит в любом интервале вида $0<z_0\le z\le z_1<\infty$,
$$ \sqrt n\mathsf P\{\lambda^{(n,m)}/\sqrt n=z\}=\sqrt{2/\pi}e^{-z^2/2}+o(1). $$

Теорема 7. Если $n\to\infty$, $m/\ln n\to\gamma$, $0<\gamma<\infty$, то равномерно относительно целых $N$, для которых $z=N\sqrt n$ лежит в любом интервале вида $0<z_0\le z\le z_1<\infty$,
$$ \sqrt n\mathsf P\{\lambda^{(n,m)}/\sqrt n=z\}=\frac{2^{\gamma}\Gamma(\gamma)} {\sqrt{2\pi}\Gamma(2\gamma)}z^{2\gamma}e^{-z^2/2}+o(1). $$
Библиогр. – 10 назв.