Оценки на границе области первых производных функций, удовлетворяющих эллиптическому или параболическому неравенству

Для функций $u\in W^2_{q,\operatorname{loc}}(\bar\Omega)$, $\Omega\subset\mathbb R^n$, $q>n$, равных нулю на $\partial\Omega$ и удовлетворяющих в $\Omega$ равномерно эллиптическому неравенству
$$ \biggl|\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,D_x^k u(x))u_{x_ix_j}\biggr|\le\mu_1|u_x(x)|^2+b(x)|u_x(x)|+\Phi_1(x) $$
с $\mu_1=\operatorname{const}\ge0$, $b:\Phi_1\in L_{q,\operatorname{loc}}(\bar\Omega)$ и с $a_{ij}$, подчиняющимися неравенствам
$$ \nu\sum_{i=1}^n\xi_i^2\le a_{ij}(x,D_x^k u(x))\xi_i\xi_j\le\mu\sum_{i=1}^n\xi_i^2,\quad\nu,\mu=\operatorname{const}\ge0,\quad k=0,1,2,\quad\forall\xi\in\mathbb R^n, $$
установлены оценки норм Гельдера для $u_{x_i}|\partial\Omega$. Они зависят только от $n$, $\nu$, $\mu$, $\mu_1$, локальных характеристик $b$, $\Phi_1$ и $\partial\Omega\subset W_q^2$ и супремума $|u(x)|$ в окрестности $\partial\Omega$. Показатель Гельдера для $u_{x_i}|\partial\Omega$ зависит только от $n$, $\mu/\nu$ и числа $\hat n(\partial\Omega)$, определяемого $\partial\Omega$. Аналогичные результаты установлены и для функций $u\in W^{2,1}_{q+2,\operatorname{loc}}(\bar Q)$, $Q=\Omega\times(0,T)$, $q>n$, равных нулю на $\partial\Omega\times[0,T]$ и подчиняющихся равномерно «параболическому неравенству
$$ \biggl|\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x,t,D_x^k u(x,t),u_t(x,t))u_{x_ix_j}(x,t)\biggr|\le\mu_1|u_x(x,t)|^2+b(x,t)|u_x(x,t)|+\Phi_1(x,t) $$
с $k=0,1,2,b$, $\Phi\in L_{q+2,\operatorname{loc}}(\bar Q)$, $\partial\Omega\subset W^2_{n+1}$. Библиогр. – 10 назв.