Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара

Изучается задача о граничном управлении радиально симметричными колебаниями трехмерного шара, описываемыми волновым уравнением, решения $u(r, t)$ которого допускают существование в любой момент времени конечной энергии. Состояние колеблющегося шара в каждый фиксированный момент времени $t$ характеризуется парой функций $\{ u (r, t), u_t (r, t) \}$. Ищется минимальный промежуток времени $T$, за который с помощью граничного управления на поверхности шара можно перевести процесс колебаний из произвольного начального состояния $\{ u (r, 0), u_t (r, 0) \}$ в произвольное наперед заданное состояние $\{ u (r, T), u_t (r, T) \}$.