О максимальном пространстве Векуа и близких к нему пространствах

Исследуется двупараметрическое семейство пространств $P_{\alpha,q}(G)$ ($0<\alpha<2$, $1\le q\le\infty$), измеримых на ограниченной области $G\subset R^2$ функций. Норма в этих пространствах вводится по формуле
$$ \|f\|_{P_{\alpha,q}}=\biggl\|\int_G\frac{|f(\zeta)|}{|\zeta-z|^\alpha}\,d\xi\,d\eta\biggr\|_{L_q}. $$
Получены теоремы плотности функций классов $C(\bar G)$ и $C_0^\infty(G)$ в этих пространствах, теоремы вложения пространств $P_{\alpha,q}(G)$ в лебеговы пространства $L_p(G)$. Пространства $P_{\alpha,q}(G)$ тесно связаны с операторами типа потенциала. Рассматриваются свойства комплексного потенциала и потенциалов Рисса в этих пространствах (их ограниченность, компактность). Это семейство имеет и самостоятельный интерес в связи с тем, что подход к потенциально представимым функциям здесь противоположен обычному: выясняются свойства плотности, обеспечивающие априорно заданные свойства потенциала. Библиогр. 8 назв.