Полиномиально зависимые гомоморфизмы и $n$-гомоморфизмы Фробениуса

Вводятся и изучаются полиномиально зависимые гомоморфизмы – специальные линейные отображения между ассоциативными алгебрами с единицей, в определении которых существенно используется мультипликативная структура (при этом та алгебра, в которую направлена стрелка отображения, должна быть коммутативной). Важнейшим частным случаем данных отображений являются $n$-гомоморфизмы Фробениуса, введенные В. М. Бухштабером и Э. Рисом в 1996–1997 гг. 1-гомоморфизм $f\colon A\to B$ – это то же самое, что гомоморфизм алгебр (алгебра $B$ коммутативна). Типичным примером $n$-гомоморфизма является сумма $n$ гомоморфизмов алгебр, $f=f_1+\dots+f_n$, $f_i\colon A\to B$, $1\leq i\leq n$. Другим примером служит след $(n\times n)$-матриц над полем $R$ нулевой характеристики, $\mathrm{tr}\colon M_n(R)\to R$, и, более общо, характер любого $n$-мерного представления, $\mathrm{tr}\rho\colon A\to R$, $\rho\colon A\to M_n(R)$. Выводятся свойства $n$-гомоморфизмов (некоторые из которых были при дополнительных ограничениях доказаны Бухштабером и Рисом), и разрабатывается общая теория полиномиально зависимых гомоморфизмов. Одним из главных результатов работы является теорема единственности, выделяющая классы $n$-гомоморфизмов среди всех полиномиально зависимых гомоморфизмов с помощью одного естественного условия полноты. В качестве топологического приложения $n$-гомоморфизмов рассматривается теория $n$-гомоморфизмов между коммутативными $C^*$-алгебрами с единицей. Доказывается, что норма всякого такого $n$-гомоморфизма равна $n$, и описывается структура всех таких $n$-гомоморфизмов, обобщающая классический изоморфизм Гельфанда (случай $n=1$). Примечательным фактом, открытым попутно, является то, что изоморфизм Гельфанда, который есть функториальная биекция между соответствующими пространствами отображений, становится гомеоморфизмом при введении в этих пространствах естественных топологий.