Выворачивания сфер и реализация отображений

Используя контролируемую версию стабильного инварианта Хопфа, П. М. Ахметьев установил, что любое (непрерывное) отображение $N\to M$ между стабильно параллелизуемыми компактными $n$-многообразиями, $n\ne 1,2,3,7$, реализуемо в $\mathbb R^{2n}$, т.е. композиция $f$ и некоторого вложения $M\subset \mathbb R^{2n}$ $C^0$-аппроксимируема вложениями. Долгое время считалось, что всякое отображение $S^3\to S^3$ степени 2, полученное заклейкой на бесконечности симметричного по времени (например, шапировского) выворачивания $S^2\times I\to \mathbb R^3$, нереализуемо в $\mathbb R^6$. В данной работе показано, что существует отображение гомологической $3$-сферы Пуанкаре на себя, нереализуемое в $\mathbb R^6$, но любое отображение $S^n$ в себя реализуемо в $\mathbb R^{2n}$ при каждом $n>2$. Последнее вместе c десятистрочным доказательством для $n=2$, по существу принадлежащим М. Ямамото, дает решение проблемы Р. Дэйвермана 1990 г., показывая, что всякий обратный предел $n$-сфер вложим в $\mathbb R^{2n}$ при $n>1$. Для любого ориентируемого замкнутого 3-многообразия $M$ показано, что существует отображение $S^3\to M$, нереализуемое в $\mathbb R^6$, если и только если $\pi _1(M)$ конечна и имеет четный порядок. Заодно найдено представление элемента стабильной гомотопической группы $\Pi _3$ с нетривиальным стабильным инвариантом Хопфа особенно простым погружением $S^3\looparrowright \mathbb R^4$, а именно композицией универсального $8$-накрытия над $Q^3=S^3/\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ и некоторого явно заданного вложения $Q^3\hookrightarrow \mathbb R^4$.