О гриди-алгоритмах с ограниченной глубиной поиска

Мы продолжаем изучение эффективности приближений и сходимости гриди-алгоритмов в равномерно гладких банаховых пространствах. Эта работа является развитием двух недавних работ автора в направлении создания практических алгоритмов из теоретических аппроксимационных методов. Слабый чебышевский гриди-алгоритм (СЧГА) был определен и изучен в предыдущих работах. СЧГА — общий аппроксимационный метод, который хорошо работает в произвольном равномерно гладком банаховом пространстве $X$ для произвольного словаря $\mathcal D$. Это индуктивная процедура, каждый шаг которой состоит из нескольких подшагов. Мы опишем первый подшаг частного случая СЧГА. Пусть $t\in (0,1]$. На первом подшаге $m$-го шага мы ищем элемент $\varphi _m$ из данного симметричного словаря $\mathcal D$, удовлетворяющий соотношению $F_{f_{m-1}}(\varphi _m)\ge t\sup _{g\in \mathcal D} F_{f_{m-1}}(g)$, где $f_{m-1}$ — остаток после $(m-1)$-го шага и $F_{f_{m-1}}$ — нормирующий функционал элемента $f_{m-1}$. Это гриди-шаг СЧГА. Ясно, что в случае бесконечного словаря $\mathcal D$ нет прямого практически реализуемого пути вычисления $\sup _{g\in \mathcal D} F_{f_{m-1}}(g)$. Обсуждение этой проблемы является главной целью настоящей работы. Мы рассматриваем счетные словари $\mathcal D =\{\pm \psi _j\}_{j=1}^\infty $ и заменяем использованное выше соотношение условием $F_{f_{m-1}}(\varphi _m)\ge t\sup _{1\le j\le N_m}|F_{f_{m-1}} (\psi _j)|$, $\varphi _m\in \{\pm \psi _j\}_{j=1}^{N_m}$. Ограничение $j\le N_m$ известно в литературе как условие глубины поиска. В работе мы доказываем сходимость и оцениваем скорость сходимости приведенной выше модификации СЧГА.