Преобразование Киприянова–Радона

Рассмотрено преобразование $K_\gamma$, построенное по типу преобразования Радона, но приспособленное для работы с сингулярными дифференциальными уравнениями с оператором Бесселя $B_{x_n}=\frac {\partial ^2}{\partial x_n^2} +\frac \gamma {x_n}\frac \partial {\partial x_n}$, $\gamma >0$, действующим по одной из переменных. Доказаны формулы "$K_\gamma$-преобразования обобщенного сдвига" и "$K_\gamma$-преобразования обобщенной свертки", формула для вычисления действия $K_\gamma$-преобразования от однородного линейного сингулярного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, в котором по последней переменной действует оператор $B_{x_n}$, а также формула действия этого оператора на $K_\gamma$-преобразование функции из основного класса функций. Основным результатом работы являются формулы восстановления функций по их $K_\gamma$-преобразованию. При этом выделены три случая: a) общий случай $\gamma >0$; b) $\gamma >0$ целое, а $n+\gamma$ нечетное; с) $\gamma >0$ целое, а $n+\gamma$ четное. В случае a) бращение достигается применением смешанных B-гиперсингулярных интегралов. В случаях b) и c) применяются целые положительные степени оператора Лапласа–Бесселя $\Delta _{\mathrm B}=\Delta _{x'}+B_{x_n}$, где $\Delta _{x'}$ — оператор Лапласа по переменным $x'=(x_1,\dots ,x_{n-1})$.