Тригонометрические аналоги теоремы равносходимости Сегё для рядов Фурье–Якоби

Пусть $\{\Phi^{\alpha,\beta}_k(\tau)\}_{k=0}^\infty$ – ортонормальная система тригонометрических полиномов Якоби, полученная при ортогонализации последовательности $1,\sin\tau,\cos\tau,\sin2\tau,\cos2\tau,\dots$ методом Шмидта на отрезке $[0,2\pi]$ с весом $\varphi^{\alpha,\beta}(\tau):=(1-\cos\tau)^{\alpha+1/2}(1+\cos\tau)^{\beta+1/2};$ $s_n^{\alpha,\beta}(F;\theta):=\sum_{k=0}^nc_k(\varphi^{\alpha,\beta};F)\Phi^{\alpha,\beta}_k(\theta)$ – $n$-я сумма Фурье функции $F$ по системе $\{\Phi^{\alpha,\beta}_k(\tau)\}_{k=0}^\infty$; $s_n(F;\theta)=s_{2n}^{-1/2,-1/2}(F;\theta)$ – обычная сумма Фурье. Доказано, что если $\alpha,\beta>-1$, $A:=\min\{\alpha+1/2,\alpha/2+1/4\}$, $B:=\min\{\beta+1/2,\beta/2+1/4\}$, $\varepsilon\in(0,\pi/2)$, $F$ измерима и $F(\tau)(1-\cos\tau)^A(1+\cos\tau)^B\in L^1$, то $F\varphi^{\alpha,\beta}\in L^1$ и сумма $s_{2n}^{\alpha,\beta}(F;\theta)$ равносходится при $n\to\infty$ с каждой из последовательностей $s_n(F\sqrt{\varphi^{\alpha,\beta}};\theta)/\sqrt{\varphi^{\alpha,\beta}(\theta)}$ и $s_n(F\varphi^{\alpha,\beta};\theta)/\varphi^{\alpha,\beta}(\theta)$ равномерно на отрезках $[-\pi+\varepsilon,-\varepsilon]$ и $[\varepsilon,\pi-\varepsilon]$. Для четной функции $F$ соответствующие результаты ранее получили Г. Сегё и Е. А. Плещёва.