Вариант задачи Турана для положительно-определенных функций нескольких переменных

Пусть $G_m(\mathbb B)$ есть класс функций от $m$ переменных с носителем в единичном шаре $\mathbb B$ c центром в начале координат, непрерывных на пространстве $\mathbb R^m$, нормированных условием $f(0)=1$ и имеющих неотрицательное преобразование Фурье. В работе изучается задача о наибольшем значении $\Phi_m(a)$ нормированных интегралов по сфере $\mathbb S_a$ радиуса $a$, $0<a<1$, c центром в начале координат пространства $\mathbb R^m$ от функций из класса $G_m(\mathbb B)$. Доказано, что в этой задаче можно ограничиться сферически симметричными функциями из класса. Доказано существование экстремальной функции и получено ее представление в виде самосвертки радиальной функции. Выписано интегральное уравнение для решения задачи при любом $m\ge3$. Вычислены значения $\Phi_3(a)$ для $1/3\le a<1$.