О наименьшей мере множества неотрицательности алгебраического многочлена с нулевым взвешенным средним значением на отрезке

Пусть $\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})$ есть множество алгебраических многочленов $P_n$ порядка $n$ с действительными коэффициентами с нулевым средним взвешенным с ультрасферическим весом $\varphi^{(\alpha)}(x)=(1-x^2)^\alpha$ значением на отрезке $[-1,1]$: $\int_{-1}^1\varphi^{(\alpha)} P_n(x)\,dx=0$. Изучается задача о наименьшем возможном значении $\inf\{\mu(P_n)\colon P_n\in\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})\}$ меры $\mu(P_n)=\int_{\mathcal X(P_n)}\varphi^{(\alpha)}(t)\,dt$ множества $\mathcal X(P_n)=\{x\in[-1,1]\colon P_n(x)\ge0\}$ точек отрезка, в которых многочлен $P_n\in\mathcal P_n(\varphi^{(\alpha)})$ является неотрицательным. В работе задача решена при $n=2$ для значений $\alpha>0$. При $\alpha=0$ задачу решили В. В. Арестов и В. Ю. Раевская в 1997 г.; в этом случае экстремальный многочлен имеет один промежуток неотрицательности, один из концов которого совпадает с одной из концевых точек отрезка. Оказалось, что при $\alpha>0$ экстремальный многочлен имеет уже два промежутка неотрицательности с концами в точках $\pm1$.