К теореме Бернштейна о последовательности наилучших приближений в пространствах $L^{\varphi}$

Пусть $T=(T,\Sigma,\mu)$ – пространство с полной положительной мерой, $\{A\in\Sigma\colon 0<\mu(A)<\infty\}\neq\varnothing$, $Y$ – $F$-пространство с квазинормой $|\cdot|_1$, неубывающей на каждом луче с вершиной в нуле, $\varphi\colon[0,\infty)\to [0,\infty)$ – непрерывная неубывающая полуаддитивная функция, $\varphi(\alpha)=0\Leftrightarrow\alpha=0$ $L^{\varphi}=L^{\varphi}(T,Y)$ – бесконечномерное линейное пространство всех измеримых отображений $f\colon T\to Y$ с $|f|:=\int_T\varphi(|f(t)|_1)d\mu(t)<\infty$. Рассматривается задача существования в $L^{\varphi}$ элемента с заранее заданной монотонно стремящейся к нулю последовательностью его наилучших приближений конечномерными подпространствами, строго вложенными друг в друга.